哥德巴赫猜想楼梯可能不成立（修改稿）

曾富

我有一位研究哥德巴赫猜想的朋友说，哥德巴赫猜想可能不成立。
他的数学证明我难以在网上描述，但是哲理我却可以讲一讲。他说，素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数，例如2、3、5、7、11等。2500年前，希腊数学家欧几里德证明了素数是无限的，并提出少量素数可写成“2的ｎ次方减1”的形式，这里ｎ也是一个素数。但“2的ｎ次方减1”的方法不全对，其次也会漏掉很多素数。用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的和。相对来讲，奇数的猜想比较容易，因为它是偶数的猜想的推论。如果每个大偶数都能写成两个素数之和，那么我们就能够证明任何大奇数都是三个素数之和，因为任何奇数减去3都是一个偶数。关于偶数的哥德巴赫猜想到现在都没有得到证明。但是，数学家们从四个途径：殆素数，例外集合，小变量的三素数定理以及几乎哥德巴赫问题，逼近这个猜想，并且取得了辉煌的成就。然而，这都类似在33×10的8次方的大值自然数范围内证明哥德巴赫猜想成立。
反过来讲，我们说哥德巴赫猜想，主要指大于等于4的偶数一定是两个素数的和的偶数的猜想。这个猜想在大值自然数范围内是成立的。这个大值自然数类似33×10的8次方内的自然数。但哥德巴赫猜想是包括大值自然数和特大值自然数的。特大值自然数类似趋于无穷大。在特大值自然数范围内哥德巴赫猜想难于成立的原因是，素数个数稀少化。即类似空洞化，指在特大值自然数范围内找一个素数很难。打个比方说，把整个宇宙对应自然数列，那么大值自然数列就类似对应我们银河系中的太阳系，大于等于4的偶数一定是两个素数的和就类似对应我们太阳系发现的恒星，行星，卫星和矮行星的定义，例如行星是在恒星引力的作用下围绕着恒星的中心，自转和公转作向心运动的不发光和不发热的星球和天体的规律。2006年8月24日国际天文学联合会大会放弃将冥王星之外的太阳系八大行星称为“经典行星”的说法，从而确认太阳系只有水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、和海王星这8颗行星，冥王星被降级为入“矮行星”；矮行星的椭圆形轨道一是与太阳系中水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、和海王星在同一运行轨道平面成一定的夹角，二是它的质量比八大行星都偏小。
这个规律是否在我们的银河系之外的宇宙也成立呢？在我们的银河系之外的宇宙有星系、星系团，类似对应特大值自然数列范围内的素数，但这类素数是否也遵守我们太阳系发现的恒星，行星，卫星和矮行星定义的规律现象呢？众所周知是不全遵守的。这就是特大值自然数到大值自然数范围内的“空洞化”，也许会使得这范围内有的偶数，很难找到两个特大值自然数列范围内的素数的和，等于这个偶数。
哥德巴赫猜想来源于 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等的启发。有人对33×10的8次方以内且大过6之偶数一一进行验算，凡大于4的偶数都是两个奇素数之和的哥德巴赫猜想都成立。但如果把大于4的自然数列范围内的两个最靠近的奇素数之间的复合数称为“空洞”，把这些复合数的个数称为“空洞数”，利用5000内的差数表，可知1 → 10内的最大“空洞数”是2；11→100内的最大“空洞数”是8；101→1000内的最大“空洞数”是12；1001→5000内的最大“空洞数”是30， ……等等，即“空洞数”在变大。
当然这个数学证明是很复杂的，它是证明哥德巴赫猜想可能不成立的关键。但道理很简单，就是要证明类似33×10的8次方以上的自然数列中的素数，仍类似小值自然数列范围内的素数一样，“空洞化”或“空洞数”不能太大。但这又和在特大值自然数范围内找一个素数很难相矛盾。其次，要证明类似这种“空洞化”形成的素数“断层”，不能在特大值自然数列范围内找到两个素数，其和等于特大值自然数到大值自然数范围内的某个偶数。
换句话说，1966年陈景润先生在《科学通报》上登的1+2证明的命题，是哥德巴赫猜想的一个封顶证明。虽然这个封顶证明直到1973年《中国科学》复刊之后，陈先生1+2证明的全文才得以发表，但直到现在1+2还是最好的结果。通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式，即目前称为陈氏定理最佳的结果是陈景润于1966年证明的：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”而不是“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的和。” 因为两个奇质数的和必然是偶数，奇质数加偶数必然是奇数，所以一个足够大的偶数，都可以表示成奇质数加偶数必然是错的。
有人认为，再用筛法去证明1+1几乎是不可能的，所以，哈伯斯坦(H. Halberstam)与里切特(H. E. Richert)在他们的名著《筛法》(Sieve Methods)的最后一章指出：“陈氏定理是所有筛法理论的光辉顶点。”当然也有人指出，只要发展出革命性的新方法，就有可能证明1+1。但这类似说，用发展出革命性的新方法，就可以证明整个宇宙都遵守我们太阳系发现的恒星，行星，卫星和矮行星定义的规律现象一样。然而哥德巴赫猜想可能不成立，也许是陈氏定理的筛法理论已证明了的事实。即任何一个特大值自然数列范围内的偶数，总可以分割为两部分：一部分是最接近这个特大值自然数范围内的偶数的素数，那么另一部分就是这个特大值自然数范围内的偶数减去接近这个特大值自然数范围内的偶数的素数这个差数。如果这个差数是素数，自然是对哥德巴赫猜想成立的说明，所以这个差数是除开素数外的必定是属于大值自然数范围内的奇数。
如果把陈景润的1+2证明中的“1”对应最接近这个特大值自然数范围内的偶数的素数，把陈景润的1+2证明中的“2”对应这个特大值自然数范围内的偶数减去接近这个特大值自然数范围内的偶数的素数的差数---这个属于大值自然数范围内的除开素数外的奇数，必定是复合数，如3×3=9, 3×5=15, 3×7=21，3×9=27……反过来9=2+7，15=2+13，21=2+19，27=2+25，25却不是一个素数，而是一个复合数。
17世纪的法国教士马丁·梅森研究形状为“2的ｎ次方减1”的素数，这里ｎ也是一个素数，1644年他证明ｎ=2，3，5，7，13，17，19，31，127时，“2的ｎ次方减1”是素数。因此后人将“2的ｎ次方减1”形式的素数称为梅森素数。是否存在有无限个梅森素数也是个数论难题。一是梅森的研究曾出现5个错误，如ｎ=67，257不是素数，而ｎ=61，89，107是素数。显然，要使梅森数是素数，n本身必须是素数，但是反过来，n是素数，梅森数却不一定是素数，例如虽然11是素数，可是ｎ=11的梅森数2047=23×89是合数。数学爱好者们用自己的家用台式电脑加入了“因特网梅森素数大搜索”，美国一位数学爱好者发现的第41个梅森素数共有7百万位，可写成2的24036583次方减1。德国一名数学爱好者发现的第42个梅森素数有７８０多万位，可写成２的２５９６４９５１次方减１。时至今日，人类也许找到超过42个梅森素数。而这前18个梅森素数是n=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217时的“2的ｎ次方减1”的素数。
梅森素数用软件来寻找，是1999年由沃特曼和库洛夫斯基共同编写的一个分布在因特网上的应用软件，现在已经有上万人在共同使用这个软件来寻找这种被称为梅森素数类型的素数。在这个行列中，有人检验完三个指数，结果都不是素数；而每检验一个指数，大约需要60天，当然指数越大时间越长。这个软件的客户端是一个后台运行的程序，只要你一开机，它就自动运行在后台，对于你的正常工作毫不影响，现在这个软件已经到了第9版以上。但此事也说明，梅森素数方法不能用来检查特大值自然数列范围内的“空洞数”的大小。
1、任何不小于6的偶数，都是两个奇质数之和的哥德巴赫猜想，实际类似寻找“哥德巴赫猜想楼梯”。即把任何不小于6的偶数的自然数列变为正整数列，然后把它对折，使此偶数与正整数列开头的0对应，偶数的一半与另一半对应，那么此两数列对应的两个整数相加，都等于这个偶数。所属“哥德巴赫猜想楼梯”是把这其中所有的复合数对应的偶数都去掉，即“空洞化”，还有一些对应的两个奇素数之和等于这个偶数。
2、在类似33×10的8次方以内的自然数列中的偶数，“哥德巴赫猜想楼梯”都是成立的。由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1＋1”仅有一步之遥了。但要想证明“1＋1”，必须当偶数 6 ＜ N → ∞ (准确的应是6 ≤ N → ∞，表示 N 的取値范围是在 6 与趋向 ∞ 之间，小于6的数不在“哥德巴赫猜想”范围之内），而 N → ∞说明 N 逐步在向 ∞ 靠近，靠近则说明不到，不到则说明在此存在一定的区间，能说清楚这个区间的偶数做成的“哥德巴赫猜想楼梯”一定成立吗？
这里有个逻辑悖论，即如果 N=∞，能说明（ 己包容了所有 ＞6 的偶数）这句话符合逻辑吗？严格地说，无论你如何证得在6 → N 之间“哥德巴赫猜想”成立，但你也无法证得在 N → ∞之间“哥德巴赫猜想”依然成立，所以 π(N) ≥ √N／4永远表示一个有趋向的量，它只说明“哥德巴赫猜想”可能成立，而不能证明“哥德巴赫猜想”成立。有人说，逻辑思维就是抠字眼。陈景润以来的40年，人们一直在寻求证明在 N → ∞之间依然使“哥德巴赫猜想楼梯”成立的途经；但所有宣告证明的“哥德巴赫猜想楼梯”，都仍是“小楼梯”，没有证明“大楼梯”。
因为当 N → ∞时，N 与 ∞ 之间的距离理解为无穷小不行，至少应给出论证，即N 与 ∞ 之间不存在大于 N 的偶数。假设存在一个“无限大”的偶数 N，根据整数加法性质，N+1 必是一整数，又根据整数的奇、偶排列性质，这必是一个“无限大”的奇数M，同理可得 M+1 必是一个偶数，且这偶数大于 N ，因此假设是错误的。这说明什么问题呢？说明这里“无限大∞”定义的逻辑有问题。“无限大∞”的定义不能使“∞+1”等类似的情况出现，“无限大∞”的“哥德巴赫猜想楼梯”，“无限大∞”必须是与正整数列开头的0对应。反之，“无限小”也不能出现“点内空间”，或“0-1”等类似的情况，即比0还要“无限小”的情况。
3、有人说：“有限到无限不再是量的变化，而是质的变化”。这句话是正确的。但联系“哥德巴赫猜想楼梯”，若以1 → 10内的最大“空洞数”是2；11→100内的最大“空洞数”是8；101→1000内的最大“空洞数”是12；1001→5000内的最大“空洞数”是30， ……等等，即以“空洞数”在变大的“量”，推出的结论特大值自然数列范围内的“空洞数”也在变大，去适应“质的变化”，也不对；但说它不成立也是想当然，这都需要严密的逻辑推理。“哥德巴赫猜想楼梯”的双向或双筛筛法表达式中，当ｎ每取一整数，其对应値仅表一偶数可为两素数之和，而不是一个偶数域中所有偶数均可为两素数之和。
所以，如果在特大值自然数列范围内的“空洞数”，大得比类似33×10的8次方的自然数值还大，“哥德巴赫猜想楼梯”可能不成立才可能成立，但这种情况也很小。如果陈氏定理的筛法是证明哥德巴赫猜想可能不成立，那么也可以看出哥德巴赫猜想有半成立半不成立的数学特性——出在大值自然数到特大值自然数范围内的“空洞化”，我们不能用做实验的方法来研究哥德巴赫猜想，计算机算得再快，也只能在有限时间内算有限个数；不过，在最好的计算机所能算到的范围之内，哥德巴赫猜想全是对的，这就能让我们把无穷值的自然数和有限值的自然数分割开来，也能把合起来进行研究。
2、1937年，俄国数学家维诺格拉多夫(I. M. Vinogradov)无条件地基本证明了奇数的哥德巴赫猜想。维诺格拉多夫定理指出，任何充分大的奇数都能写成三个素数之和。也就是说，在数轴上取一个大数，从这个数往后看，哥德巴赫猜想都对；在这个数前面的奇数，需要用手或计算机来验证。然而，至今计算机还未能触及那个大数。维诺格拉多夫的证明发表之后，又出现了几个新证明。这些证明既简洁，又提供了完全不同的方法。在这些新证明中，一个是俄国数学家林尼克(Yu. V. Linnik)的，再一个是潘承彪先生的；还有英国数学家沃恩(R. C. Vaughan)的。人们认为林尼克是离哥德巴赫猜想很近的人，他对哥德巴赫猜想进行了深入的研究。因为林尼克1941年提出大筛法，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度。显然，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。后来林尼克的学生、匈牙利数学家兰易(A. Rényi)深入地研究了大筛法，并在1948年证明了命题狖1+b狚。用王元先生的话说，这个b是个天文数字。当时，没有人知道b究竟有多大。这个b的数值依赖于素数在算术级数中平均分布的水平。
陈景润的狖1+2狚证明可以变为类似与此相反，是把这个天文数字b分割给最接近这个特大值自然数范围内的偶数的素数，而对应狖1+2狚中的“1”。以上结果表明，陈景润先生完成的“2”，就是目前人们通常的哥德巴赫猜想证明。如定理1，有无限多个素数p使得p+2(=5-3)是素数，（3，5），这是第一素数对，它有无限多素数对。定理2，J_2(3)=0，只有一个素数p=3使得p+2(=5-3)和p+4(=7-3)都是素数，（3，5，7），它只有一素数组。定理3，有无限多个素数p使得p+2(=7-5)和p+6(=11-5)都是素数，（5，7，11），这是第一素数组，它有无限多素数组。定理4，有无限多个素数p使得p+2, p+6, p+8(=13-5)都是素数，（5，7，11，13），这是第一素数组，它有无限多素数组。......定理50，有无限多个素数p使得5p^3+6, 6p^3+5都是素数，（7，1721，2063）。
但以上定理1和定理2是素数分布一个基本规律，到定理50的运用，都类似33×10的8次方内的自然数的规律，它没有证明在特大值自然数范围内也成立，或它没有证明这和在特大值自然数范围内找一个素数很难相矛盾而不矛盾。
3、哥德巴赫猜想证明所用方法，涉及自然数、整数、有理数、无理数、虚数，而不是仅仅是自然数和整数。这是主要的困难。例如哥德巴赫猜想证明涉及的素数巨大，要用类似平方、立方的式子来表达，类似虚数的平方可以变成整数，这使得哥德巴赫猜想证明运用的数学公式，难以篩去素数的数列中插花的虚数。其次，素数中包括2这样的偶数，也使问题复杂化。
例如，哥德巴赫猜想可能不成立属于例外集合，这是在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2；越过数轴上的0，还有-2。即只有2使得猜想是错的。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。当然，直到现在还不能证明E(x)＝1；但是能够证明E(x)远比x小。在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。
有人认为，在例外集合这一途径上，有四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理。搞哥德巴赫猜想的人的目标，是要证明E(x)的上界是x的零次方，然而1938年E(x)上界的世界记录基本上是x的1次方，二者相差很远。因此降低该上界中x的方次将是一件很重要的事。1975年，蒙哥马利(H. L. Montgomery)与沃恩证明存在一个小于1的正数δ，使得E(x)的上界是x的δ次方。1979年，潘承洞与陈景润先生合作，证明了这个δ可以取0.99。按照陈景润和潘承洞的思路，后来有很多人都改进了δ的值。目前最好的结果是李红泽教授2000年得到的，δ可以取0.92。在广义黎曼猜想之下，哈代和李特伍德证明了δ可取1/2。就是说，即使能够证明广义黎曼猜想，也不能进而推出哥德巴赫猜想。最近有人利用广义黎曼猜想和L-函数零点分布的统计规律猜想，进一步推进了例外集合的上界，证明了E(x)不超过log x的平方。这与x的任何δ次方相比，log x增长都是很慢的。因此这结果指出，E(x)小于x的任何δ次方。但是毕竟也没能证明哥德巴赫猜想。