纪念陈景润哥德巴赫猜想证明40周年
---空洞数对偶交叉寻找哥猜不成立偶数

曾富

摘要：特大偶数的哥德巴赫猜想楼梯左右两列的空洞数，如果使素数的报废率达百分之百，就能被列入哥猜不成立的偶数。
关键词：偶数、素数、哥德巴赫猜想楼梯，空洞数，报废率

自然数列或正整数列是产生素数的母体。因为自然数列或正整数列中的任何偶数，都可以写成“2的ｎ次方”的形式，这里的ｎ是正整数列中的一个数；或者写成2N的形式，这里的N是自然数列中的一个数。
从任何偶数都可以表示成是两个自然数之和的数理逻辑出发，两个自然数之和等式的个数就是这个偶数的一半，用其做成一种“数列楼梯”状，即把任何偶数从1到该偶数为止写成自然数列，然后把该自然数列对折成两列，使“2的ｎ次方减1”这个数或“2N-1”这个数，与这个自然数列开头的1对齐；为了使两列自然数包括所有的两个自然数之和等于这个偶数，我们在第一个半列自然数列开头加个0，使此0与此偶数对齐；然后在第二个半列自然数列开头重复加个这个偶数的一半的自然数N，使此N与第一个半列自然数列末尾的该偶数的一半的自然数N对齐，使偶数的一半与另一半对应，这个偶数的“数列楼梯”就做成了。
素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数，例如2、3、5、7、11等。2500年前的希腊数学家欧几里德和17世纪的法国教士马丁·梅森，都研究过少量素数可写成“2的ｎ次方减1”的形式，这里的ｎ是一个素数。因此后人将“2的ｎ次方减1”形式的素数称为梅森素数。有人说，寻找最大梅森素数是检验一个国家的计算能力的标识，我国的数学家和“哥迷”，还无人宣布发现了最大梅森素数。时至今日，美国数学家发现了已知的最大梅森素数为2的32582657次方减1，它有9808358位数，是第44个梅森素数。而美国一位数学爱好者发现的第41个梅森素数共有7百万位，可写成2的24036583次方减1。德国一名数学爱好者发现的第42个梅森素数有780多万位，可写成2的25964951次方减1。第43个梅森素数是2的30402457次方减1。而前18个梅森素数是n=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217时的“2的ｎ次方减1”的素数。

一、从素数报废率探索哥猜不成立
据称有人用计算机检验发现，在大到自然数33×10的8次方范围内的偶数，哥德巴赫猜想都是成立的。这是什么意思？用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何任何大奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，任何大偶数一定是两个素数的和。李文林先生说，1937年维诺格拉多夫已证明了奇数的猜想。偶数的猜想，至今未有人超越陈景润的1+2的证明。
如果把大于或等于4的自然数列范围内的任何两个最靠近的奇素数之间的合数称为“空洞”，把这些合数的个数称为“空洞数”，利用5000内的素数表，可知1 → 10内的最大“空洞数”是3；11→100内的最大“空洞数”是6；101→1000内的最大“空洞数”是11；1001→5000内的最大“空洞数”是29， ……等等。即“空洞数”在变大。任何不小于6的偶数，都是两个奇素数之和的哥德巴赫猜想，实际类似寻找“哥德巴赫猜想楼梯”。即把任何不小于6的偶数的自然数列对折，在第一个半列自然数列开头加个0，使它与此偶数对齐；然后在第二个半列自然数列开头重复加个这个偶数的一半的自然数，使它与此第一个半列自然数列末尾的该偶数的一半的自然数对齐，使偶数的一半与另一半对应，那么此两数列对应的两个整数相加，都等于这个偶数。在此基础上，把这其中所有的合数对应的偶数都去掉，即“空洞化”，还有一些对应的两个奇素数之和等于这个偶数，这就是所属的“哥德巴赫猜想楼梯”。
11→100内的最大“空洞数”是素数89和97之间的7个合数：90、91、92、93、94、95、96。以98这个偶数为例，做成“哥德巴赫猜想楼梯”，49是左右两列正整数的分段处，左列从下到上是0至49，素数是15个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47；其余是空洞数有35个。右列从上到上是49至98，素数是11个：51、23、59、61、67、71、73、79、83、89、97；其余是空洞数有39个。98这个偶数列其间的素数共26个，符合哥德巴赫猜想的素数是4对，成功数为8个：19+79、31+67、37+61、47+51；左右两列的空洞数使素数的报废数达18个：1+97、2+96、3+95、5+93、7+91、9+89、11+87、13+85、15+83、17+81、23+75、25+73、27+71、29+69、39+59、41+57、43+55、45+53。如果设：成功率=（成功数/素数总数）×%=8/26=30.77%；报废率=（报废数/素数总数）×%=18/26=69.23%。那么左列的素数占素数总数=15/26=57.69%，成功率=4/15=26.67%；报废率=11/15=73.33%。右列的素数占素数总数=11/26=42.31%；成功率=4/11=36.36%；报废率=7/11=63.64%。
又如，1→10内的最大“空洞数”是素数7和11之间的3个合数：8、9、10。以10这个偶数为例，做成“哥德巴赫猜想楼梯”，5是左右两列正整数的分段处，由于5是素数，使右列开头重复的5就增加了该列素数量。左列从下到上是0至5，素数是3个：2、3、5；其余是空洞数有3个。右列从上到上是5至10，素数是2个：5、7；其余是空洞数有4个。10这个偶数列其间的素数共4个，符合哥德巴赫猜想的素数是2对，成功数为4个：3+7、5+5；左右两列的空洞数使素数的报废数只1个：2+8。成功率=4/5=80%；报废率=1/5×%=20%。左列的素数占素数总数=3/5=60%，成功率=2/3=66.67%；报废率=1/3=33.33%。右列的素数占素数总数=2/5=40%；成功率=2/2=100%；报废率=0%。从上可见：
第一，哥德巴赫猜想楼梯凡偶数是等于素数2倍的，哥德巴赫猜想成立。
第二，哥德巴赫猜想楼梯左列一般素数多，空洞数少；右列一般素数少，空洞数多，这是一种对偶性。以大偶数的10的数量级分析，这种对偶性使哥德巴赫猜想楼梯，左列的素数量再多，也有被右列空洞数报废的危险。即左列比右列的报废率大，但报废率再大，必须等于百分之百，才能证明哥德巴赫猜想不成立。反之，成功率再小，只要不等于零，哥德巴赫猜想都是成立的。
第三，我们知道，有人提出过素数定理：对于足够大的 x, 在 x 附近素数的分布密度大约为 1/ln(x)；但这只是一个简单定性分析的拟合。所以，如果想用报废率的比例，寻找使哥德巴赫猜想不成立的偶数，其方法是不正确的。例如，98：18/26=X：100；得X=14155.555......,这是一个无限循环小数。要想让这是一个无限循环小数变成整数，这个整数不但是无穷大，而且也还不一定是偶数。又如，10：1/5=X：100；得X=5000。但对于5000这个偶数,就有7+4993，13+4987等素数对，说明哥德巴赫猜想是成立的。原因是，自然数列或正整数列等母体数列中，素数产生的规律无简单的可计算的函数式表示，素数的分布密度规律无简单的可计算的函数式表示，从而自然数列或正整数列的“空洞数”规律，也无简单的可计算的函数式表示。
第四、但话又说回来，素数本身的分布是随着数字的增大而越来越稀疏，即“空洞数”越来越大。例如类似与接近第41、第42、第43、第44个梅森素数的大偶数等，它们区间的最大空洞数，不断增大就是一个事实。如果把哥德巴赫猜想楼梯的左列看成是大值自然数列，右列看成是特大值自然数列；特大值自然数类似趋于无穷大，在特大值自然数范围内哥德巴赫猜想难于成立的原因是，素数个数的稀疏稀化，即空洞化，如果有空洞数的对偶交叉，左右两列空洞数的交叉就有可能使素数的报废率达到百分之百，这有可能证明哥猜不成立。

二、定性分析的素数定理应用中的误区
1、用素数的报废率证明哥猜，先不说成立与否，但这种方法也能把模规数论分割成两论：小模规数论和大模规数论。证明哥德巴赫猜想成立的，多用的是小模规数论，他们打开素数大门的模规说来也简单，其方程类似：
后素数=前素数+（空洞数+1） （1）
除2之外，所有素数都是奇数，因此很明显大于2的两个相邻素数之间的最小可能间隔是2。所谓孪生素数指的就是这种间隔为2的相邻素数，它们之间的距离已经近得不能再近了，就象孪生兄弟一样，所以称孪生素数。它们之间的间隔数2就是它的空洞数1加1。所以有人提素数定理1：存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 也是素数，即是孪生素数猜。p+2是素数，（3，5）是第一素数对，它有无限多素数对。定理2：有素数p+4都是素数，如（3，7）、（7，11）等等。这种类似后素数=前素数+（空洞数+1）的公式，有人可以推出近50个素数定理；原因是“空洞数”是一个不定数。其实1849年法国数学家就提出：对于任何偶数 2k, 存在无穷多组以2k为间隔的素数。对于 k=1，这就是孪生素数猜想； k=2 (即空洞数为 3) 的素数对被称为 cousin prime；k=3 (即空洞数为 5) 的素数对被称为 sexy prime。
有证明小模规数论哥猜的人还说，合数与素数是奇数中的对立统一，二者相辅相成，正整数列中的“空洞”，就是他说的连续奇合数。由于素数的不连续性，最多在后区间只要有两个以上的素数存在，那么就一定会分割奇合数使其不能永远连续，也就是“空洞”必然是有限的。而他的填不满原理已经证明在后区间必然存在着一定数量的素数。
解读“填不满原理”，如果把大于4的自然数列范围内的两个最靠近的奇素数之间的合数称为“空洞”，把这些合数的个数称为“空洞数”，利用5000内的素数表，可知“空洞数”在变大，而填不满原理不能说明“空洞数”分布的规律。所谓“填不满原理已经证明在后区间必然存在着一定数量的素数”的说明，对哥猜成立并不管用。哥德巴赫猜想楼梯类似用了高斯的数学智慧，高斯的左右两列的首尾相加，使空洞数根本不怕孪生素数的分割，也不怕“空洞”必然有限，例如98这个偶数，左列的孪生素数：3，5；5，7；11，13；出马就被右列的95（3+95）、93（5+93）、91（7+91）、87（11+87）、85（13+85）报废；又如右列的孪生素数：71，73 ，则就被左列的27（27+71）、25（25+73）报废。后区间必然存在着一定数量的素数，根本大不过前区间空洞数的总和，这是必然的事实。
2、奇合数是由奇数（包括素数）与奇数做因子相乘得来的，最小的奇合数是9。以3这因数的奇合数是9，15，21，27，33......3+6n，即从9开始，每隔6就出现一个含3因子的奇合数。因为奇数占自然数的一半，所以含3的奇合数占奇数总数的1/3,占自然数总数的1/6；这是一支使素数报废的大军。以此类推，含5的奇合数是5+10n，从15开始，即每隔10出现一个。因此含5的奇合数占全部奇数的2/11。但是含5的奇合数有一部份与含3的奇合数重复，即15，45，75 ，105.....即每隔两个就有一个重复，那么不重复的含5奇合数只有全部奇数的1/11，这是第二支使素数报废的大军。以此数类推，含7的奇合数是7+14N；从21起,每隔14出现一个，同样也有与含3的重复，又有与含5的重复，因此不重复的含7的奇合数总数为全部奇数的1/X，这是第三支使素数报废的大军。以此类推，含7，含11，含13......含任意素数的奇合数都是如此，分别为：7+14n ,11+22n ,13+26n…s+2sn，并且都是每隔2个数都有一个与含3的奇合数重复，每隔5个有一个与5重复,每隔7有一个与7重复......那么我们就可以得到奇合数占奇数总量的比例为1/3+1/11+1/X+...的使素数报废的大军。
虽然由此可知奇合数的总量随着偶数的增大而增加，永远不可能等于奇数总量，余下的当然只能是素数，这里即使素数是无限的，奇合数也大于素数无限的总量；而奇合数就是“空洞化”的基础，从而可能证明哥猜不成立。因为在一定的区间内，虽然奇合数的数量有限，但在此列空缺处对偶的彼列必然产生素数，所以即使素数增加，由于这些奇合数不在同一边数列，素数仍然无法填满这些“空洞”；左右两列的这种对偶报废，永无止息，奇合数不满奇数原理反而成了可能证明哥猜不成立的另一种解读。
3、奇合数的连续，在5000以内的正整数列就大到29个，这已经是惊人的奇变了；相比之下，孪生素数及素数分割已成孤岛。所谓素数分割原理，据说是指由于不可能有3个以上素数相连，而素数又有一定的数量，因此素数必然要分割奇合数，使其不能无限连续。这会使证明哥猜就简单了吗？
该解读指，对于任意偶数F的哥德巴赫猜想楼梯，可以分成（0，F/2）和（F/2。F）两个区间。前后区间中都有总量相同的奇数和偶数，在后区间F/2到F之间，小于F的奇合数，必然是由小于F的奇数(包括素数)做为因子构成的，其中最小的因数是3；对于3来说，另一个最大的因数必然是小于F/3的最大奇数，最小因数必然是大于F/6的最小奇数，奇合数的数量必然小于奇数总量，剩下的必然是素数。后区间奇数总量为F/4,奇合数不合能填满后区间的奇数位置，这种必然，只能说明有一定的数量的素数存在外，一点用处也没有。因为奇数中的奇合数和素数的数量不相等，素数的分割只占少量，再加上前后区间组成偶F的相对应数在奇合与奇合和奇合与素数相加之后，必然还有素数剩余只是一种猜想；即使有素+素存在，是必然的哥德巴赫猜想的证明，但它并没有排除完空洞数使素数的报废率达百分之百这种使哥猜不成立的情况。
4、还有人的哥德巴赫猜想成立的证明是，根据一定规则并针对偶数 N 组合而成的两个素数 P 与 Q 构成偶数 N 的一个素数对样本(简称样本)，每个样本的两个素数 P 与 Q 之和与 N 存在偏差 ΔN。ΔN 可能大于 0，也可能等于 0。素数定理表明每个大偶数 N 都有许多样本。Q 有相继素数差 d，根据偶数 N 所有样本的误差 d－ΔN 和 d 的分布情况，建立偶数 N 的样本误差分布函数 f(N,x) 和无偏样本分布函数 g(N,x)。偶数 N 的每个样本中的素数 P 与对应素数 Q 的相继素数 Q' 之和等于比 N 大的某个偶数，以这种关系为依据，推导出不同偶数的样本分布函数之间的联系......
这是公式后素数=前素数+（空洞数+1）的一个变种解读。即所谓“每个样本的两个素数 P 与 Q 之和与 N 存在偏差” ，这类f(N,x)和g(N,x)“空洞数”，也还不是找出规律的可简单的可计算的函数式。
全部奇数的集合：{1，3，5，7，9，11，13，……}
全部完全平方数的集合：{1，4，9，16，25，……}
全部完全立方数的集合：{1，8，27，64，125，……}
全部偶数添上“1”构成的集合：{1，2，4，6，8，10，……}
N-{2}这样的集合：{1，3，4，5，6，7，8，9，……}
N-{2,3}这样的集合：{1，4，5，6，7，8，9，……}
…………
…………
等等，能说明什么？是否又类似很多的素数定理，如偶数与素数对的关系：若 Δ(N,r,s)=0，则称素数对 {p[r]，p[s]} 为 2N 的一个无偏样本，2N 可表为素数 p[r] 与 p[s] 之和，否则就称其为 2N 的一个有偏样本。记偶数 2N 的样本总数为 S(N)。所谓“根据自然数区间 [3，N] 内每个素数都可以唯一地确定 2N 的一个素数对样本的先决条件”，但这不是说，已经先验地认为哥德巴赫猜想已证明了吗？
又如偏差 Δ(N,r,s) 与误差 d[s]－Δ(N,r,s)，这能说明什么？区间N到2N 有那么多的偶数，即使有的符合哥德巴赫猜想，但也可能有的不符合哥德巴赫猜想，偏差与误差怎么去筛选？说与 p[s] 是“通过 2N－p[r] 得到的唯一素数”的定义相矛盾，这只是说明那个唯一的素数的存在，并不能说明哥德巴赫猜想的复杂性。以98为例，既有19+79、31+67、37+61、47+51这种无偏样本，又有1+97、2+96、3+95、5+93、7+91、9+89、11+87、13+85、15+83、17+81、23+75、25+73、27+71、29+69、39+59、41+57、43+55、45+53这种误差样本，还有21+77等这种双奇合数样本。所谓“若素数对 {p[r]，p[s]} 是偶数 2N 的样本，且误差为 2x，那么，素数对 {p[r]，p[s+1]} 一定是偶数 2(N+x) 的无偏样本”定理，其假设“且误差为 2x”，已是一种特定的偶数假设，违反奇合数也是一种存在。所以证明推导：p[r]＋p[s+1]＝p[r]＋p[s]＋d[s]＝p[r]＋p[s]＋Δ(N,r,s)＋2x＝2N＋2x＝2(N＋x)；上式表明素数对 {p[r]，p[s+1]} 一定是偶数 2(N+x) 的无偏样本，说服力不强。并且它不能以如与2的24036583次方、2的25964951次方、2的30402457次方、2的32582657次方等接近梅森素数的大偶数作检验？

三、陈景润的封顶证明
1966年由已故的我国数学家陈景润利用筛法证明了：存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 要么是素数，要么是两个素数的乘积。而哥德巴赫猜想只是来源于 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等的启发。当然这个数学证明是很复杂的。但道理很简单，就是要证明类似33×10的8次方以上的自然数列中的素数，仍类似小值自然数列范围内的素数一样，“哥德巴赫猜想楼梯”左右两列正整数的“空洞化”或“空洞数”，至少不能报废完其中的两个素数。但这又和在特大值自然数范围内找一个素数很难有联系，即素数无论少与多，左右两列“空洞化”或“空洞数”的交叉都让它们难于躲开。反之，除偶数是素数的2倍这种明显成立的情况外，也要证明类似这种“空洞化”交叉形成的素数“断层”，在特大值自然数列范围内能找到两个素数，其和等于特大值自然数到大值自然数范围内的某个偶数的情况。如此之难、之奇，所以说1966年陈景润先生在《科学通报》上登的1+2证明的命题，是哥德巴赫猜想的一个封顶证明；虽然这个封顶证明直到1973年《中国科学》复刊之后，陈先生1+2证明的全文才得以发表，但直到40周年的现在来总结，也还是最好的结果。这说明了什么？
通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式，即目前称为陈氏定理最佳的结果是陈景润于1966年证明的：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”而不是“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇素数，另一个则是两个奇素数的和。” 因为两个奇素数的和必然是偶数，奇素数加偶数必然是奇数，所以一个足够大的偶数，都可以表示成奇素数加偶数必然是错的。
有人认为，再用筛法去证明1+1几乎是不可能的，所以，哈伯斯坦(H. Halberstam)与里切特(H. E. Richert)在他们的名著《筛法》(Sieve Methods)的最后一章指出：“陈氏定理是所有筛法理论的光辉顶点”；但只要发展出革命性的新方法，就有可能证明1+1。这类似说，用发展出革命性的新方法，就可以证明整个宇宙都遵守在我们太阳系发现的恒星，行星，卫星和矮行星定义的规律现象一样。然而哥德巴赫猜想可能不成立，也许是陈氏定理的筛法理论已证明了的事实。即任何一个特大值自然数列范围内的偶数，总可以分割为两部分：一部分是最接近这个特大值自然数范围内的偶数的素数，那么另一部分就是这个特大值自然数范围内的偶数减去这个特大值的素数这个差数。如果这个差数是素数，自然是对哥德巴赫猜想成立的说明，所以这个差数还有是除开素数外的必定是属于大值自然数范围内的奇数。
如果把陈景润的1+2证明中的“1”对应最接近这个特大值自然数范围内的偶数的素数，把陈景润的1+2证明中的“2”对应这个特大值自然数范围内的偶数减去这个特大值的素数的差数---这个属于大值自然数范围内的除开素数外的奇数，必定是合数。而如3×3=9, 3×5=15, 3×7=21，3×9=27……是成立的，但反过来9=2+7，15=2+13，21=2+19，27=2+25，25却不是一个素数，而是一个合数，这也说明另一个自然数不能表示成是两个奇素数的和。
参考文献
[1]陈景润，初等数论，科学出版社，1978年12月；
[2]李文林，数学史概论，高等教育出版社，2005年4月。
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